在整數集I中定義“*”和“”兩個運算，對任意a，b∈I，有

  a*b=a+b-1，ab=a+b-a·b．

  證明：(I，*，)是含乘單位元素的交換環(huán)．

證明：是有單位元的交換環(huán)，其中，運算和定義為，對任意的a，b∈Z，ab=a+b-1，ab=a+b-a×b．

設R是有單位元1的除環(huán)，在R中規(guī)定新的運算：

a⊕b=a+b=1，a⊙b=a+b-ab

證明：(R,⊕,⊙)構成有單位元的除環(huán)。(提示：先驗證R滿足環(huán)的定義，再驗證有單位元，且每個非零元有逆元)

證明(Z，，)是環(huán)，其中Z是整數集，運算，定義如下：

  ab=a+b-1,

在整數環(huán)中沒有哪種運算?

A、加法

B、除法

C、減法

D、乘法

判斷下列集合和給定運算是否構成環(huán)、整環(huán)和域，如果不能構成，說明理由。

(1)A={a+bi|a，b∈Q}，其中i²=-1，運算為復數加法和乘法。

(2)A={2z+1|z∈Z}，運算為實數加法和乘法。

(3)A={2z|z∈Z}，運算為實數加法和乘法。

(4)A={x|x≥0∧x∈Z}，運算為實數加法和乘法。

(5)運算為實數加法和乘法。

試證明：

  設Γ是集合X中某些非空子集合形成的集合族．若Γ對運算△，∩是封閉的(即若A，B∈Γ，則A△B∈Γ，A∩B∈Γ，也說Γ是一個環(huán))，則Γ對運算∪，\也封閉．

試證明：

  設Γ是集合X中某些非空子集合形成的集合族．若Γ對運算△，∩是封閉的(即若A，B∈Γ，則A△B∈Γ，A∩B∈Γ，也說Γ是一個環(huán))，則Γ對運算∪，\也封閉．

試證明：

  設Γ是集合X中某些非空子集合形成的集合族．若Γ對運算△，∩是封閉的(即若A，B∈Γ，則A△B∈Γ，A∩B∈Γ，也說Γ是一個環(huán))，則Γ對運算∪，\也封閉．